Broadbent & Hammersley，1957 — 关于「什么时候连成一片」的最小模型
1957 年，Simon Broadbent 在英国煤炭利用研究协会做事，手头的问题很具体：防毒面具的滤芯是一块多孔的碳，气体要穿过它，得沿着内部彼此相通的孔道走。孔是随机分布的。他去找数学家 John Hammersley，问的是——孔要多密，气体才能从这头走到那头？
Hammersley 把它抽象成了一个纯粹的问题，并给它起名叫渗流（percolation）：在一张规则的格子上，每个位置（或每条连线）以概率 p 随机打开，相邻的开位置算连通，问什么时候会出现一条贯穿全场的通路。
这个模型和别的经典模型分工很清楚：它不管系统里跑的是什么——水、电流、病毒、谣言、动物迁徙都行——它只管一件事，路通不通。所以它是纯拓扑的：没有时间、没有动力学、没有能量。这既是它的局限，也是它能被到处搬用的原因。
模型里没有时间这一维——所有格子是一次性同时抽签定下来的，不存在"先开哪个"。这一点常被误读：渗流描述的是一张静态快照的连通性，不是一个传播过程。凡是把它当成"传播模型"用的，都在偷偷附加了一个模型本身没有的时间轴。
阈值 pc 是格子形状的属性，不是渗流机制的属性。几个值得记的数：二维方格键渗流恰好 1/2（1980 年 Kesten 严格证明，来自方格的自对偶性）；二维方格座渗流约 0.5927（无闭式表达，只能数值算）；二维三角格子的座渗流又恰好回到 1/2；三维简立方格子的座渗流只要约 0.3116。维数越高、邻居越多，所需的密度越低。
把同一张随机底图的 p 一点点调高，会看到三个阶段。低 p 时是一堆互不相干的小斑；接近阈值时，中等大小的斑变得很大、彼此几乎贴着；越过阈值，它们成批地缝合成一整块。
把"最大簇占全场的比例"画成曲线，这条曲线在阈值以下几乎贴着地面，在阈值处抬头，然后一路上扬。它是这个模型的序参量（order parameter）——专门用来指示系统处在"通"还是"不通"这一相。
阈值那一点上还有两件事同时发生，值得单独记住：第一，簇的大小分布服从幂律（power law），也就是说这里没有"典型簇大小"；第二，最大的那个簇是分形的——二维时它的分形维数是 91/48 ≈ 1.896，比面（2 维）小、比线（1 维）大，意思是它布满全场却处处是洞。只有在阈值这一点上才这样；离开阈值，无论哪一边，簇都有确定的典型尺度。
凡是「一堆局部连接、关心整体能不能贯通」的问题，都可以拿渗流当第一近似：多孔岩石里的油气能不能流出来、随机掺入的导电颗粒什么时候让塑料导电、森林里的树密到什么程度火会烧穿整片、破碎的栖息地还剩多少动物才能跨区迁徙、随机故障要删掉多少节点网络才断开。
搬到网络上时，方格换成任意的图，"占据概率"换成度分布，结论变成：出现巨大连通分支（giant component）的条件是 ⟨k²⟩/⟨k⟩ > 2（Molloy–Reed 判据）。对随机图，这退化成"平均每点 1 条边"；对度分布极不均匀的网络，阈值被少数枢纽拽到接近零。
它给出的核心预期只有一条，而且是可证伪的：整体连通性对局部密度的依赖，不是平滑曲线，而是在某个特定值附近陡然改变。如果你测到的是一条平滑的比例关系，那这个系统就不是渗流系统。