庞加莱（Henri Poincaré），1880 年代 — 不解方程也能说出长期行为的那套画法
19 世纪末，庞加莱在三体问题上卡住了：太阳、地球、月亮三个天体互相拉扯，运动方程写得出来，解写不出来。当时（现在也一样）没有公式能给出它们任意时刻的位置。
他的转身改变了整个学科：如果解不出来，那就换个问法。不问"第 500 年时地球在哪儿"，改问"这几个天体会不会有一个跑掉""轨道会不会一直有界""会不会周期性地回到差不多的排布"。这些问题不需要公式解，只需要看清楚运动大致往哪儿走。
为了看清"往哪儿走"，他发明了这套画法。它要解决的核心问题只有一个：在解不出方程的情况下，怎么说出一个系统的长期行为？
整套东西只有一个要求：状态变量选对。选错或选少了，画出来的图会自洽、好看、并且和真实系统没关系。
下图是一个带摩擦的摆的完整相图。灰色小箭头是向量场——每个箭头说"在这个状态下，接下来往这边动"。彩色曲线是两条轨迹：从不同状态放手，顺着箭头走出来的两条路。
看这张图能读出三件事：① 中间那个青点是稳定不动点（垂下不动），周围所有箭头都朝它去；② 左右两个空心点是不稳定不动点（倒立），箭头从它们身边散开；③ 无论从哪儿出发，只要有摩擦，最后都收进中间——所以整张图上除了那两个孤零零的倒立点，其余每一个起点都属于同一个吸引域。
青色那条值得多看两眼：它差一点就翻过了右边的倒立点，在那附近走得非常慢（箭头在那里很短），最后还是滑了回来。越靠近不稳定不动点，系统走得越慢——这个现象后来被做成了一整套预警方法（临界慢化，Topic 36）。
把镜头拉近到某一个不动点附近，箭头的图案只有有限几种。这几种图案决定了系统在这个点附近的全部行为：
判断属于哪一种，靠的是在不动点附近把规则线性化——大白话说，就是问两件事：偏离一点点之后，回复力把你拉回来还是推更远；以及这个偏离会不会同时被带着转。拉回来 + 不转 = 结点；拉回来 + 带着转 = 焦点；一个方向拉回、另一个方向推开 = 鞍点；只转不拉 = 中心。数学上这四种对应雅可比矩阵特征值的四种情形，但要用它，记住上面这四句话就够。
鞍点值得多看一眼：它是分水岭（separatrix）的源头。恰好沿着"被拉回"那个方向进来的轨迹，会一直走向鞍点；差之毫厘的轨迹，则会被另一个方向甩开，甩向左边还是右边取决于差在哪一侧。两个不同结局的分界线，就是这样长出来的。
这套画法本身不是一个关于世界的理论，它是一门语言——但正因为是语言，它把一堆看起来无关的现象翻译成了同一句话：
为什么有些系统会自己回到原样，有些一去不返。前者是稳定不动点，后者附近有鞍点或者干脆没有吸引子。生态学里"湖泊变浑之后为什么清不回来"、心理学里"为什么状态一崩就滑得很快"，说的都是同一件事：不是力气不够，是位置到了分水岭另一侧。
为什么有些波动不需要外部原因。如果相图里有一个吸引的闭合环（极限环 limit cycle），系统就会自己周期性地起落。心脏的窦房结、捕食者与猎物的数量、某些商业周期的模型，都属于这一类。找外因的习惯在这类系统上会一直落空。
为什么"确定"和"可预测"不是一回事。混沌的定义本身就是用这套语言写的：轨迹被关在一个有界的集合（奇异吸引子）里，永不重复，且相邻轨迹指数分开。没有相空间这套词汇，这句话根本说不出来。
工程上它也是干活的工具：控制理论里的相平面法直接拿它设计，判断一个控制回路会不会振荡、会不会发散；而"状态机"这个每个程序员都在用的概念，正是它在离散世界里的表亲。