Eggenberger & Pólya，1923 — 路径依赖（path dependence）与增益递增最小的那个装置
大多数随机过程有一个让人安心的性质：抽得越多，比例越稳。抛硬币一万次，正面比例几乎必然贴着一半。这也是"样本量大了就准了"这句话的全部底气。
但有一整类现象明显不吃这一套：排队的店越排越长、被引用的论文越引越多、用的人多的软件越来越好用。这里的每一次结果都在改下一次的概率。
波利亚罐子问的就是：如果一次随机结果会提高它自己下次再发生的概率，长期会怎样？它是回答这个问题所需的最小装置——只有球和一条规则，没有别的东西。
只有第 3 步是新东西。去掉"再加一个同色"，这就是最普通的有放回抽样，比例会老老实实收敛到 1/2；加上它，一切都变了。
第一件事：比例确实会稳下来。每一次运行都会趋近于某个固定的占比，而且趋得很快——几百次之后基本就不动了。
第二件事才是重点：它稳在哪儿完全没准。把几千次运行的终点做成直方图，得到的是一条平的线——0 到 1 之间任何占比出现的机会都一样。数学上这叫均匀分布（uniform distribution），它是贝塔分布（Beta distribution）在参数取 1 时的特例。
换句话说：每一次运行都收敛，但它们收敛到的地方本身是随机的。"收敛"在这里不提供任何确定性——它只是把早期的偶然固定下来而已。
改两个数字，世界完全不同：
一般的结论是：起始红球 a 个、蓝球 b 个、每次加 c 个同色，最终占比服从参数为 a/c 与 b/c 的贝塔分布。这一个式子把两件事都说清楚了——强化越猛（c 大），结局越极端；底子越厚（a、b 大），早期的偶然越不起作用。
还有一个性质值得单独说，因为它解释了我们为什么总能给赢家编出理由：这个过程是可交换的（exchangeable）——一串抽取结果出现的概率只跟红蓝各多少次有关，跟顺序无关。由此可以证明一件很怪的事：整个过程等价于「先随机抽出一枚偏心硬币，然后一直抛它」。那枚硬币的偏心程度 p，就是最终占比。
所以从任何一次运行的中后段往回看，你都会看到一个"本来就有的倾向"——而那个倾向其实是最初几次抽取随手抓出来的。事后总能找到理由，正是这个模型的一条定理，不是人的认知缺陷。
1989 年 Brian Arthur 把这个罐子直接搬成了技术竞争模型：两种技术、采纳者一个个到来、每被采纳一次就更有吸引力一点。结论照搬：一定锁定、锁定到哪个不可预测、事前更好的不保证赢。
同一副骨架还长出了另外几样东西：网络科学里的优先连接（preferential attachment，"富者愈富"的度分布）、贝叶斯统计里的狄利克雷过程与"中餐馆过程"（新客人坐到人多的桌子的概率更高）、以及 Pólya 当年提出它的本行——传染病与"事故倾向性"的建模，因为得过一次会提高再得一次的概率。
它给出的核心预期只有一条，而且可以被数据否掉：在增益递增的领域里，结局的分布应当是宽的、甚至是双峰的，而不是集中在某个"合理值"附近。如果你观察一批同类竞争的最终份额，它们挤在一起，那这里的强化就没你以为的那么强。