Watts & Strogatz，1998 — 用一个参数把规则格子拧成随机图
1990 年代之前，网络只有两种标准模型，各占一头。规则格子（regular lattice）：每个点只连着自己的近邻，于是"我的邻居也彼此是邻居"这件事几乎总成立——聚类高；但从这头走到那头要经过极多步——平均路径长度大。随机图（random graph）：边随便撒，路径短得惊人，可是任意两个邻居碰巧也相连的概率低到可以忽略——聚类几乎为零。
问题在于，真实网络两头都不在。神经网络、电网、人的社交圈、演员的合作关系，全都又抱团又很近。这在两种标准模型里都不可能出现。
Watts 和 Strogatz 要问的就是：这两个性质凭什么能共存？需要多复杂的机制？他们的答案是——不需要复杂机制，只需要在两个极端之间放一个旋钮，然后看中间。
注意第 2 条只移动边，不增删。所以三张图的边数完全一样——后面看到的差别，全部来自接法。
有一个常见的变体值得知道：Newman–Watts 版本不重连、而是以概率 p 新加一条随机边。这样图不会被拆散（重连有小概率把某段孤立出去），定性结论完全相同。做数值实验时通常用这一版。
把 p 从 0 慢慢调大，两条曲线并不同步下落——这就是整篇论文。
L 崩得极快。p 才百分之一，平均路径长度已经掉到接近随机图的水平。C 几乎纹丝不动。在同一个 p 上，聚类系数还保留着九成以上。中间那一大段——p 横跨两三个数量级——就是小世界区间。
为什么错开？一条捷径做的两件事量级差得远：
对距离的好处是成片的。它把环上相隔很远的两块直接焊住，于是所有"要从这块走到那块"的点对，路径统统缩短——受益的是成片的点对。对聚类的伤害是单点的。它只拆掉了一个三角形，别处的聚类一点没动。
成片的收益对上一个点的损失，所以前几条捷径几乎白捡；而当捷径多到路径已经很短时，再加就只剩下拆三角形的代价了。收益急剧递减、代价线性累积——这就是中间那段存在的全部原因。
Watts 和 Strogatz 用三个真实网络验证过：电影演员合作网、美国西部电网、秀丽隐杆线虫（C. elegans）的神经网。三个都落在中间段——演员网的聚类系数比同规模随机图高一百多倍，平均路径长度却和随机图差不多。
这个模型给出的核心主张只有一条，但很有用："又抱团又很近"不需要任何精巧的机制，只需要极少量的随机跨圈连接。
这条主张能直接用在几个地方。传播：疾病、谣言、时尚在高度本地化的人群里也能迅速全境扩散，不需要假设存在什么"超级传播结构"——几条捷径就够。同步：耦合振子（萤火虫、心肌细胞、电网频率）在小世界拓扑上比在规则格子上更容易整体同步。大脑：神经系统需要在"局部密集处理"和"全局整合"之间取平衡，而长程纤维在代谢上极其昂贵，小世界正是这个约束下的解。工程：想缩短一个系统的直径，先加少数几条长连接，比普遍加密便宜得多。
反过来，它也提供了一个可被证伪的对照：如果一张网络的聚类系数并不显著高于同规模随机图，那"小世界"这套解释就用不上，得另找机制。